Aσκήσεις - Περιληπτική θεωρία
Οι βασικές έννοιες της Τοπολογίας και ειδικά των μετρικών και νορμικών χώρων είναι απαραίτητες δια την Μαθηματική Ανάλυση της οποίας αποτελούν εισαγωγή.
Στο βιβλίο αυτό ο αναγνώστης θα βρη τις κυριώτερες έννοιες της τοπολογίας και με τη βοήθεια των ασκήσεων θα αντιληφθή τις μεταξύ των σχέσεις.
Σημειώνουμε ότι οι ασκήσεις του βιβλίου αναφέρονται κυρίως σε Hausdorff χώρους, μετρικούς χώρους και νορμικούς χώρους αλλά έχουν αναφερθεί και μερικές στη Γενική Τοπολογία δια να φανή η θέση των ανωτέρω χώρων μέσα στη Γενική Τοπολογία.
Επίσης υπάρχουν και ωρισμένες ασκήσεις της Γενικής Τοπολογίας δια να τονισθή ο διαχωρισμός διαφόρων εννοιών που συμπίπτουν σε μετρικούς χώρους π.χ. οι έννοιες (i) συμπαγής (ii) ακολουθιακώς συμπαγής και (iii) αριθμησίμως συμπαγής χώρος ενώ ταυτίζονται σε μετρικούς χώρους (βλέπε άσκ. 35 Κεφ.V) σε γενικώτερους χώρους αυτές οι έννοιες διαχωρίζονται (βλέπε άσκ. 36 Κεφ. V).
Βασικά κεφάλαια είναι το ΙΙ και ΙΙΙ και συνεπώς η πλήρης γνώση αυτών είναι απαραίτητος δια τα επόμενα κεφάλαια.
Κάποια σχετική αυτοτέλεια παρουσιάζουν το συμπλήρωμα του Κεφαλαίου IV που αναφέρεται στους χώρους του Hilbert, το Κεφάλαιο VI που αναφέρεται στους συναφείς χώρους και στις ομοτυπίες και το κεφάλαιο VII που αναφέρεται στους συναρτησιακούς χώρους.
Στο κεφάλαιο VIII υπάρχουν γενικές ασκήσεις που χρησιμοποιούν έννοιες απ? όλα τα προηγούμενα κεφάλαια.
Στη αρχή κάθε κεφαλαίου υπάρχει περιληπτική θεωρία που περιέχει τους ορισμούς και ωρισμένα βασικά θεωρήματα. Οι ασκήσεις κάθε κεφαλαίου γενικώς παρουσιάζουν δυσκολία ανάλογη με τον αύξονα αριθμό που φέρουν δηλαδή οι τελευταίες είναι δυσκολότερες από τις πρώτες.
Τέλος στο παράρτημα αναφέρονται στοιχειώδεις ορισμοί και έννοιες που θεωρούνται γνωστά σε όλα τα κεφάλαια.
Περιεχόμενα
1.Μετρικοί χώροι-Νορμικοί χώροι
2.Τοπολογίες Μετρικών και Νορμικών χώρων
3.Συνεχείς συναρτήσεις-Ισοδύναμοι Mετρικαί και Νorms-Τοπολογικό γινόμενο-τοπολογία πηλίκου
4.Ακολουθίαι-Πλήρεις χώροι-Ισομορφισμοί
Θεώρημα του σταθερού σημείου
Χώροι του Hilbert
5.Συμπαγείς χώροι
6.Συναφείς χώροι-Ομοτυπίες
7.Συναρτησιακοί χώροι
8.Γενικαί Ασκήσεις
Παράρτημα